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Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.

• Definition

• Motivation

• Fläche

• Literatur

Seien g , h ∈ ∈ C ( [ a , b ] ) {\displaystyle g,h\in C([a,b])} stetige Funktionen mit g ≤ ≤ h {\displaystyle g\leq h} . Dann heißt

G = { ( x , y ) ∈ ∈ R 2 | a ≤ ≤ x ≤ ≤ b , g ( x ) ≤ ≤ y ≤ ≤ h ( x ) } {\displaystyle G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a\leq x\leq b,\;g(x)\leq y\leq h(x)\rbrace }

(mit reellen Zahlen a < b {\displaystyle a<b} ) ein Normalbereich bezüglich der x {\displaystyle x} -Achse. Analog gilt das im R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Das Integrieren einer stetigen Funktion f : : G → → R {\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} } über einem Normalgebiet G {\displaystyle G} lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:

∫ ∫ G f ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ ∫ a b ( ∫ ∫ g ( x ) h ( x ) f ( x , y ) d y ) d x {\displaystyle \int _{G}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)=\int _{a}^{b}\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x}

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes G = { ( x , y ) ∈ ∈ R 2 | a < x < b , g ( x ) < y < h ( x ) } {\displaystyle G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a<x<b,\;g(x)<y<h(x)\rbrace } errechnet sich durch folgendes Integral:

∫ ∫ a b ( h ( x ) − − g ( x ) ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}(h(x)-g(x))\,\mathrm {d} x} .

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4